A Course in Continuum Mechanics Volume 1: Basic Equations by L. I. Sedov, J. R. M. Radok

By L. I. Sedov, J. R. M. Radok

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Obtenemos t2 δI = [ t1 d ∂f ∂f − . ]δydt ∂y dt ∂ y Para que I sea estacionario δI debe anularse para variaciones arbitrarias δy en el intervalo, y ello s´olo es posible si el integrando es id´enticamente nulo: ∂f d ∂f − . =0 ∂y dt ∂ y Estas son las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange, hay una por cada funci´on diferente y(t) ´ presente en f y coinciden con las ecuaciones de Lagrange derivadas del principio de d’Alembert para un sistema mec´anico. Queda as´ı probado el P RINCIPIO DE H AMILTON : L A DEPENDENCIA TEMPORAL DE LAS COORDENADAS ´ EN EL INTERVALO GENERALIZADAS qj (t) ES TAL QUE SE MINIMIZA EL VALOR DE LA ACCI ON TEMPORAL ELEGIDO .

10) nos permite definir la fuerza generalizada Qj : N → ri − a ∂− → Fi. δ → ri = dt2 N 3N −K mi i=1 j=1 N 3N −K { = i=1 j=1 → → d2 − r i ∂− ri . δqj 2 dt ∂qj → → → → d d− r i ∂− ri d− r i d ∂− ri [mi . ] − mi . 12) ´ L AGRANGIANA DE LA D IN AMICA ´ ´ F ORMULACI ON CL ASICA Vamos a trabajar sobre el t´ermino operaciones de diferenciaci´on: → ∂− ri ∂qj ; asumiendo v´alido el intercambio en el orden de dos → → d ∂− ri ∂− vi = dt ∂qj ∂qj → donde la velocidad − v i es: − → vi= 3N −K j=1 → → ∂− ri . ∂− ri qj + ∂qj ∂t con lo que obtenemos: → → ∂− ri ∂− vi .

20 encontramos las siguientes relaciones entre las componentes de → − → − mg y, F v y la resultante F R : mg − FR . sin β = Fv . cos α FR . cos β = Fv . sin α +m donde: tanβ = MM tan α. Despejamos Fv reemplazando en la primera ecuaci´on FR = Fv . sin α/ cos β Fv . cos α = mg − Fv . sin α. tan β Fv = = mg cos α + sin α. tan β mg. cos α +m 2 cos α + MM sin2 α que podemos reducir a: Fv = mg. cos α m 1+ M sin2 α Vemos que este resultado satisface las situaciones l´ımites conocidas: si M/m → 0 tenemos ca´ıda libre y no hay fuerza de reacci´on de la cu˜na sobre m: 38 ´ ´ F UNDAMENTOS DE LA M EC ANICA CL ASICA Fv = 0 Si m/M → 0 tenemos el equivalente a una cu˜na fija, y la fuerza de reacci´on cancela la componente del peso en direcci´on normal al plano: Fv = mg.

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