Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

By Dirk Ferus

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Algorithmic Aspects in Information and Management: 10th International Conference, AAIM 2014, Vancouver, BC, Canada, July 8-11, 2014, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science)

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Transactions on Large-Scale Data- and Knowledge-Centered Systems XVII: Selected Papers from DaWaK 2013 (Lecture Notes in Computer Science)

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Theory of Cryptography: 12th International Conference, TCC 2015, Warsaw, Poland, March 23-25, 2015, Proceedings, Part I (Lecture Notes in Computer Science)

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Daraus folgt die Behauptung. 2. Fall: a > 0. Dann gilt √ √ |xn − a| |x − a| √ ≤ n√ . | xn − a| = √ xn + a a Daraus folgt die Behauptung. Schlussbemerkung zur Axiomatik der reellen Zahlen. Man kann zeigen, dass die reellen Zahlen durch die Axiome (A1) − (A3), (M 1) − (M 3), (D), (O1) − (O4) und (V ) eindeutig bestimmt sind. Je zwei Mengen mit diesen Strukturen sind isomorph: Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen ihnen, die alle Strukturen erh¨alt. Und man kann (auf der Basis einfacherer Axiome) ein Modell f¨ ur die reellen Zahlen konstruieren.

Das zeigt der folgende Satz 93. Sei A ⊂ R nicht leer. Dann gilt: (i) Es gibt in A eine monoton fallende Folge (an ) und eine monoton wachsende Folge (bn ) mit lim an = inf A, lim bn = sup A. Dabei sind die F¨ alle sup A = +∞ und inf A = −∞ eingeschlossen. Insbesondere existieren inf A und sup A in R ∪ {+∞, −∞}. (ii) Ist A nach oben bzw. unten beschr¨ ankt, so existiert sup A ∈ R bzw. inf A ∈ R. Beweis. Zu (i). 1. Fall: A nicht nach oben beschr¨ankt. Wir definieren die Folge (bn ) rekursiv. Weil 0 keine obere Schranke von A ist, gibt es ein b0 ∈ A mit b0 ≥ 0.

63 Beispiel 118. Konstante Abbildungen sind stetig. Die identische Abbildung id : D → D, x→x f : C → C, z → |z| ist stetig. Beispiel 119. Die Abbildung ist stetig. Dasselbe gilt f¨ ur die reelle Funktion R → R, x → |x|. Beweis. Wir zeigen die Stetigkeit in einem beliebigen Punkt z0 ∈ C. F¨ ur alle z ∈ C gilt nach dem Korollar 9, das genauso wie im reellen Fall auch im komplexen Fall aus der Dreiecksungleichung folgt, |f (z) − f (z0 )| = ||z| − |z0 || ≤ |z − z0 |. Ist also > 0 gegeben und setzt man δ = , so folgt aus |z − z0 | < δ, dass |f (z) − f (z0 )| < .

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